Karşılığını Bulmaya Çalışırken Kırk Takla Atacağınız “Madenî Para Döndürme Paradoksu”

Aslında bu paradoksla her gün karşılaşıyoruz, sadece bunun farkında değiliz. Belli ki Amerika’da uygulanan Scholastic Aptitude Test (SAT) imtihanında da bu es geçilmişti. Zira bu paradoksla ilgili bir soru sorulduğunda soruyu hazırlayanlar bile karşılığı yanlış verdiler!

Bir masanın üzerinde madenî bir parayı çevirmek istediğinizde bu çok sıradan gibi görünür; ama para dönerken, güya aniden iki farklı süratte dönüyormuş gibi görünür. İşte bu duruma biz “madenî para döndürme paradoksu” diyoruz. Gelin biraz ayrıntılarına inelim, bakalım siz de yanlış karşılık mı vereceksiniz?

Amerika’da üniversitelere giriş için yapılan SAT imtihanında bu paradoks ele alınmış.

Bu imtihan, Amerikan vatandaşları ve yabancı öğrenciler arasında geçerliliği olan uluslararası bir imtihan. Adaylar; yazılı, kelamlı ve matematiksel olarak değerlendirildikleri, çoktan seçmeli sorularla tasarlanan bir imtihana tabi tutuluyorlar. 

1982’deki bu sınavın bir matematik sorusu ise resmen tarihe geçti. Bu soru o kadar zordu ki hiçbir öğrenci doğru karşılığı bulamamıştı. Hatta soruyu hazırlayanlar bile tam olarak soruyu çözemedi.

Soruyu merak edenleri duyar üzereyiz. derhal gösterelim:

Şekilde A çemberinin yarıçapı, B çemberinin yarıçapının 1/3’ü kadardır. Şekilde gösterilen pozisyonundan başlayarak A çemberi B çemberinin çevresinde yuvarlanmaya başlıyor ve sonrasında da başlangıç noktasına geri dönüyor. Bunun için A çemberinin toplamda kaç tur atması gerekir?

Her imtihanda olduğui bu imtihanda da sürat önemli.

Bu sorunun cevabı başta size 3 benzeri görünmüş olabilir; sonucunda B çemberinin yarıçapının A çemberinin yarıçapının 3 katı olduğundan yola çıkarsak B’nin etrafı de A’nın etrafının 3 katı olacaktır.

Küçük çemberi açıp büyüğün etrafına sarma süreci tam 3 sefer gerçekleşirdi. Bu türlü baktığınızda cevap alenen 3 benzeri dursa da maalesef siz de elendiniz!

İşin farklı tarafı, diğer şıkların hepsi yanlıştı. Doğru yanıt 4’tü ve bu, seçenekler arasında bile yer almıyordu.

Bu enteresan olay daha sonraları “madenî para paradoksu (coin rotation paradox)” olarak isimlendirilmeye başlandı. Zira sorunun sonucu, sezgilere aykırı bir şekilde ortaya çıkması nedeniyle paradoksal bir durumu ifade ediyordu. Buna imtihanlarda küçük detayların ne kadar çok önemli olabileceğini bir kere daha görüyoruz.

Soruyu biraz kolaylaştırırsak şayet…

Masanın üzerine iki tane benzeyenbüyüklükteki madenî para koyun. Soldaki para ok yönünde ortadaki paranın etrafında döndürüldüğünde bir tam tur mu, yoksa yarım tur mu döner? Eğer denemeye üşendiyseniz yanıt bir tam tur olacak. Yani para, başladığı noktaya geri dönmek için iki tam tur atmış olacak.

Eğer paranın yarıçapını r olarak kabul edersek paranın merkezinin aldığı yol 1/2×2πx2r=2πr olacaktır. Bu durumda, paranın merkezi etrafında bir tur tamamlaması için para kendi etrafında iki sefer dönmelidir.

İki çemberin birbirinin etrafında dönüşü durumunda, hareket hâlindeki çemberin tur sayısını bulmak için çemberlerin etraflarını oranlamalı ve sonuca 1 eklemelisiniz. SAT sorusunun yanlışı da buradan kaynaklanıyordu.

Bu durumda, sağdaki madenî para ortadaki paranın etrafında döndürüldüğünde ortadaki para kendi etrafında yalnızca bir tam tur atar. Yani saat yönünde döndürülen para, başlangıç noktasına geri dönmek için kendi etrafında yalnızca bir tur atmış olur. Bu, yapılan hesaplamalardan elde edilen sonuçtur ve paradoksu çözer.

Diğer matematik sorunları için: